| Questa è la parte che precede il testo:
La comparsa di paradossi nella teoria degli insiemi ha contribuito allo sviluppo di modelli alternativi al concetto cantoriano di classe. Buona parte delle teorie successive (quantomeno le più note) trovano il proprio fondamento su sistemi formali che fanno uso unicamente della logica classica. Negli ultimi quarant’anni buona parte della comunità scientifica ha concentrato l’attenzione su sistemi che non godono della proprietà di consistenza: un sistema S è inconsistente se per ogni formula α di L, dimostra sia s α che s ¬α, ossia una qualunque formula e contemporaneamente la sua negazione. Qualora S sia dotato di assiomi o di regole di inferenza per cui da una contraddizione può seguire una qualunque formula β (legge di Scoto), il sistema viene considerato triviale. Questo significa che un sistema inconsistente e dotato della legge di Scoto consente di dimostrare qualunque cosa ed è perciò deduttivamente inutile. Esistono tuttavia strutture che, pur essendo inconsistenti, non ammettono al loro interno la trivialità e sono appunto le teorie di cui mi sono occupato nel mio elaborato. Tali teorie sono dette paraconsistenti e si dividono in due categorie: forti e deboli. Nelle prime le contraddizioni che si presentano durante una deduzione non vengono risolte ma prese così come sono (in un senso del tutto da specificare), mentre le seconde non accolgono alcuna contraddizione al loro interno. Questa distinzione coinvolge in realtà un più esteso dibattito sulla validità o meno del principio di non contraddizione. Personalmente ho scelto di non occuparmi nel dettaglio delle ragioni sulla reale o apparente messa in discussione del principio. Quello che mi preme è la sistematizzazione della teoria degli insiemi attraverso le logiche non standard di tipo paraconsistente. Oltre a certe strutture algebriche e alla teoria delle categorie, l’insiemistica è forse ancora oggi tra le più potenti teorie matematiche in grado non solo di accogliere il finito ma anche il transfinito cantoriano, necessario alla giustificazione di buona parte dei teoremi matematici oltre che della stessa analisi. Se si vuole sostituire l’impianto classico con una qualche altra logica bisognerà non solo ampliare quello che la teoria ci può dire, ma anche conservare tutto ciò che l’insiemistica standard può già fare. Non sarà possibile parlare di reale progresso se il nuovo modello che ci apprestiamo a sostituire apparirà carente rispetto al vecchio, soprattutto per quanto riguarda i teoremi fondamentali. Questo è uno dei principi guida a cui cercherò di attenermi e che svilupperò, con una serie di considerazioni, nel secondo capitolo. Durante la fase di ricerca non mi sono dedicato a tutte le logiche che vengono usualmente etichettate come paraconsistenti, ma a quelle che presentano un impianto formale quantomeno sufficientemente sviluppato per l’insiemistica. Ho preso quindi in considerazioni le gerarchie di Da Costa, la teoria delle classi di Brady, la DST di Routley e la logica del paradosso di Priest. Confronterò inoltre i modelli appena menzionati con quelli che seguono un approccio “classico” come Russell, Von Neumann, Zermelo-Fraenkel, Quine e la gerarchia cumulativa transfinita. Farò riferimento anche ad altre teorie paraconsistenti che, anche se non hanno un bagaglio tecnico sufficiente per misurarsi con l’impresa che ho testé illustrato, possono comunque essere utili per un confronto e in una maggiore comprensione degli approcci paraconsistenti. Visto che ogni teoria che si rispetti deve avere un corrispettivo impianto formale che possa adeguatamente svilupparla, dovrò toccare anche questioni legate alla sintassi e alla semantica degli impianti via via forniti. Indicherò inoltre le due linee che mi hanno guidato lungo questo percorso ma che posso già anticipare: da un lato alcune massime metodologiche e dall’altro la logica. La domanda a questo punto sorge spontanea: quale logica? In realtà la logica, non diversamente da una definizione impredicativa, si richiama a una totalità di cui è essa stessa partecipe. Ogni questione andrà quindi formulata direttamente a questa totalità, che consiste in quello che i principali esponenti della paraconsistenza hanno chiamato classical recapture.
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